Логистическая кривая

Пример 5.1. Эффективность рекламы.

Некоторое предприятие рекламирует свою продукцию, количество потребителей продукции – N, х – количество потребителей до которых дошла реклама за время t. Когда рекламная компания закончилась и информация о товаре стала распространяться при общении друг с другом, исследования показали, что скорость распространения информации пропорциональна как числу тех, кто знает, так и числу тех, кто не знает. Найти х.

Решение

Скорость распределения через дифференциальное уравнение процесса:

где k – коэффициент пропорциональности.

Задаем граничные условия:

Производим разделение переменных и интегрируем обе части уравнения:

Интегрируем левую часть уравнения:

Интегрируем правую часть и подставляем обе части в уравнение:

где примем С₂ - С₁ = С, далее получим:

где также принимаем константу CN = C .

Решаем полученное уравнение путем ухода от натуральных логарифмов:

Тут по аналоги принимаем постоянную e^C = C, в результате получим:

Данное выражение является решением задачи и дает возможность определить количество людей до которых дошла реклама за время t. График изменения функции x(t) (логистическая кривая) приведен на рис. 5.1.

Рисунок 5.1 – Логистическая кривая.

Данная кривая напоминает функцию распределения нормального закона.

Пример 5.2. Предположим, что количество населения N изменяется  с искусственно изменяемой скоростью, обстоятельства препятствующие росту населения обуславливают его количество М; М < N. Скорость роста населения пропорциональна произведению N и разности N – M.

Решение

Скорость распределения через дифференциальное уравнение процесса представим в виде следующего уравнения:

В остальном решение задачи аналогично предыдущей.

Пример 5.3. Рост общественного благосостояния (модель Золотаса).

Этот греческий экономист высказал гипотезу, что производство большого количества товара не обязательно ведет к улучшению жизни, что подтверждает логистическая кривая (рис. 5.1).

Рассмотрим следующие факторы:

W – фактор, способствующий развитию любого общества и любой системы.

A – фактор, тормозящий развитие.

Таким образом, приходим к такому же, как и в предыдущих примерах, уравнению логистической системы: