Логистическая кривая
Пример 5.1. Эффективность рекламы.
Некоторое предприятие рекламирует свою продукцию, количество потребителей продукции – N, х – количество потребителей до которых дошла реклама за время t. Когда рекламная компания закончилась и информация о товаре стала распространяться при общении друг с другом, исследования показали, что скорость распространения информации пропорциональна как числу тех, кто знает, так и числу тех, кто не знает. Найти х.
Решение
Скорость распределения через дифференциальное уравнение процесса:
где k – коэффициент пропорциональности.
Задаем граничные условия:
Производим разделение переменных и интегрируем обе части уравнения:
Интегрируем левую часть уравнения:
Интегрируем правую часть и подставляем обе части в уравнение:
где примем С2 - С1 = С, далее получим:
где также принимаем константу CN = C .
Решаем полученное уравнение путем ухода от натуральных логарифмов:
Тут по аналоги принимаем постоянную eC = C, в результате получим:
Данное выражение является решением задачи и дает возможность определить количество людей до которых дошла реклама за время t. График изменения функции x(t) (логистическая кривая) приведен на рис. 5.1.
Рисунок 5.1 – Логистическая кривая.
Данная кривая напоминает функцию распределения нормального закона.
Пример 5.2. Предположим, что количество населения N изменяется с искусственно изменяемой скоростью, обстоятельства препятствующие росту населения обуславливают его количество М; М < N. Скорость роста населения пропорциональна произведению N и разности N – M.
Решение
Скорость распределения через дифференциальное уравнение процесса представим в виде следующего уравнения:
В остальном решение задачи аналогично предыдущей.
Пример 5.3. Рост общественного благосостояния (модель Золотаса).
Этот греческий экономист высказал гипотезу, что производство большого количества товара не обязательно ведет к улучшению жизни, что подтверждает логистическая кривая (рис. 5.1).
Рассмотрим следующие факторы:
W – фактор, способствующий развитию любого общества и любой системы.
A – фактор, тормозящий развитие.
Таким образом, приходим к такому же, как и в предыдущих примерах, уравнению логистической системы:
Популярные рубрики
Популярные теги