Построение математических моделей с помощью дифференциальных уравнений
Методика составления дифференциального уравнения
- Анализ задач.
- Определение типа полученного ДУ.
- Интегрирование (решение) уравнения.
- Использование начальных условий.
- Вывод закона.
- Анализ результатов.
I тип задач. Известен закон, позволяющий для каждого момента времени получить зависимость:
II тип задач. Когда производная, умноженная на функцию, будет постоянной величиной:
где С – константа;
k – коэффициент пропорциональности.
III тип задач. Когда есть возможность в результате анализа процесса получить зависимость приращения аргумента функции от изменения функции. Когда удается связать между собой изменение аргумента и изменение функции, а затем с помощью предельной функции перейти к дифференциалу:
IV тип задач. Приращение какой-то величины можно представить в виде разницы дохода и расхода:
Пример 7.1. Резервуар объемом V, в резервуаре находится этиловый спирт, содержащий 92-й бензин и постепенно в резервуар вливается этиловый спирт со скоростью v ( л/мин), а из резервуара выходит с той же скоростью смесь (рис. 7.1). В резервуаре находится смеситель. Вопрос: сколько 92-го бензина останется в резервуаре через некоторое время?
Рисунок 7.1 – Резервуар со смесью (к примеру 7.1).
Решение
Принимаем за х количество бензина в баке, тогда:
vdt– поступит;
vdt– выльется;
cvdt – расход.
Таким образом, изменение количества бензина за время dt в резервуаре будет ровняться:
Пусть нижним пределом интегрирования является начальная масса бензина, а верхним пределом – х, который нужно найти, тогда:
где m – начальное количество бензина, отсюда
Таким образом, закон изменения бензина в резервуаре будет иметь вид:
V тип задач. Когда известен какой-то закон преобразования материального потока в узле логистической системы.
Пример 7.2. Найти форму зеркала, чтобы все лучи, которые на него попадают, отражались параллельно какому-то направлению (рис. 7.2).
Рисунок 7.2 – К примеру 7.2.
Решение
Рисунок 7.3 – Ход решения задачи.
Введем новую переменную: , откуда:
Таким образом, можно заметить, что уравнение формы зеркала является уравнением параболы.
VI тип задач. Задачи на переходные процессы.
Задача «хищник – жертва»
Пусть х1 – это количество жертв;
х2 – количество хищников.
Таким образом, при отсутствии хищников количество жертв растет с постоянной скоростью, как только появляется хищник – количество жертв уменьшается.
Процесс конкурентной борьбы является периодическим. Длительность периода определяется начальными условиями.
Популярные рубрики
Популярные теги