Построение математических моделей с помощью дифференциальных уравнений

Методика составления дифференциального уравнения

1. Анализ задач.
2. Определение типа полученного ДУ.
3. Интегрирование (решение) уравнения.
4. Использование начальных условий.
5. Вывод закона.
6. Анализ результатов.

I тип задач. Известен закон, позволяющий для каждого момента времени получить зависимость:

II тип задач. Когда производная, умноженная на функцию, будет постоянной величиной:

где С – константа;

k – коэффициент пропорциональности.

III тип задач. Когда есть возможность в результате анализа процесса получить зависимость приращения аргумента функции от изменения функции. Когда удается связать между собой изменение аргумента и изменение функции, а затем с помощью предельной функции перейти к дифференциалу:

IV тип задач. Приращение какой-то величины можно представить в виде разницы дохода и расхода:

Пример 7.1. Резервуар объемом V, в резервуаре находится этиловый спирт, содержащий 92-й бензин и постепенно в резервуар вливается этиловый спирт со скоростью v ( л/мин), а из резервуара выходит с той же скоростью смесь (рис. 7.1). В резервуаре находится смеситель. Вопрос: сколько 92-го бензина останется в резервуаре через некоторое время?

Рисунок 7.1 – Резервуар со смесью (к примеру 7.1).

Решение

Принимаем за х количество бензина в баке, тогда:

 vdt– поступит;

 vdt– выльется;

 cvdt – расход.

Таким образом, изменение количества бензина за время dt в резервуаре будет ровняться:

Пусть нижним пределом интегрирования является начальная масса бензина, а верхним пределом – х, который нужно найти, тогда:

где m – начальное количество бензина, отсюда

Таким образом, закон изменения бензина в резервуаре будет иметь вид:

V тип задач. Когда известен какой-то закон преобразования материального потока в узле логистической системы.

Пример 7.2. Найти форму зеркала, чтобы все лучи, которые на него попадают, отражались параллельно какому-то направлению (рис. 7.2).

Рисунок 7.2 – К примеру 7.2.

Решение

Рисунок 7.3 – Ход решения задачи.

Введем новую переменную: , откуда:

Таким образом, можно заметить, что уравнение формы зеркала является уравнением параболы.

VI тип задач. Задачи на переходные процессы.

Задача «хищник – жертва»

Пусть х₁ – это количество жертв;

х₂ – количество хищников.

Таким образом, при отсутствии хищников количество жертв растет с постоянной скоростью, как только появляется хищник – количество жертв уменьшается.

Процесс конкурентной борьбы является периодическим. Длительность периода определяется начальными условиями.